Question

已知双曲线的两条渐近线方程为直线和，焦点在y轴上，实轴长为，O为坐标原点．
（1）求双曲线方程；
（2）设P₁，P₂分别是直线l₁和l₂上的点，点M在双曲线上，且，求三角形P₁OP₂的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）先依题意可设双曲线方程，利用实轴长为，求得参数，从而写出双曲线方程；
（2）设P₁（-2y₁，y₁），P₂（2y₂，y₂）和点M（x，y）利用向量条件以及M在双曲线上得到三点的坐标之间的关系式，整理得，又直线P₁P₂的方程为令x=0得最后利用三角形面积公式求三角形P₁OP₂的面积即得．
解答：解：（1）依题意可设双曲线方程为：
则∴双曲线方程为…（5分）
（2）设P₁（-2y₁，y₁），P₂（2y₂，y₂）和点M（x，y）∵∴又∵M在双曲线上∴∴整理得…（9分）
又直线P₁P₂的方程为令x=0得∴…（13分）
点评：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．