题目内容
已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=| 2 | 3 |
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
分析：（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．
（2）用数列an构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．
（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．
（2）用数列an构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．
（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．
解答：解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，即(
λ-3)2=λ(
λ-4)?
λ2-4λ+9=
λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{an}不是等比数列．
（Ⅱ）解：因为bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1（
an-2n+14）
=
（-1）n•（an-3n+21）=-
bn
又b1=-（λ+18），所以
当λ=-18，bn=0（n∈N+），此时{bn}不是等比数列：
当λ≠-18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，
∴
=-
（n∈N+）．
故当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-
为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）•（-
）n-1，于是可得
Sn=-
i4=
n4+
n4+
n3-
n，
要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立，
即a＜-
（λ+18）•[1-（-
）n]＜b（n∈N+）
得
＜-
(λ+18)＜
令f(n)=1-(-
)n，则①
当n为正奇数时，1＜f（n）≤
；当n为正偶数时，
≤f(n)＜1，
∴f（n）的最大值为f（1）=
，f（n）的最小值为f（2）=
，．
于是，由①式得
a＜-
（λ+18）＜
b?-b-18＜λ＜-3a-18．
当a＜b≤3a时，由-b-18≥=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
所以{an}不是等比数列．
（Ⅱ）解：因为bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1（
| 2 |
| 3 |
=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
又b1=-（λ+18），所以
当λ=-18，bn=0（n∈N+），此时{bn}不是等比数列：
当λ≠-18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，
∴
| bn+1 |
| bn |
| 2 |
| 3 |
故当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-
| 2 |
| 3 |
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）•（-
| 2 |
| 3 |
Sn=-
| n |
 |
| i=1 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 30 |
要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立，
即a＜-
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
得
| a | ||
1-(-
|
| 3 |
| 5 |
| b | ||
1-(-
|
令f(n)=1-(-
| 2 |
| 3 |
当n为正奇数时，1＜f（n）≤
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 9 |
∴f（n）的最大值为f（1）=
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 9 |
于是，由①式得
| 5 |
| 9 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
当a＜b≤3a时，由-b-18≥=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）
点评：这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．
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