Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（I）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜

1

a

时，f（

1

a

+x）＞f（

1

a

-x）；
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：f′（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（I）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间；（II）构造函数g（x）=f（

1

a

+x）-f（

1

a

-x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜

1

a

时的最小值大于零即可，（III）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，根据（I）．（II）结论，即可证明结论．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-2ax+(2-a)=-

(2x+1)(ax-1)

x

，
①若a＞0，则由f′（x）=0，得x=

1

a

，且当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，
当x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，

1

a

）单调递增，在（

1

a

，+∞）上单调递减；
②当a≤0时，f′（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增；
（II）设函数g（x）=f（

1

a

+x）-f（

1

a

-x），则g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，
g′（x）=

a

1+ax

+

a

1-ax

-2a=

2a3x2

1-a2x2

，
当x∈（0，

1

a

）时，g′（x）＞0，而g（0）=0，
所以g（x）＞0，
故当0＜x＜

1

a

时，f（

1

a

+x）＞f（

1

a

-x）；
（III）由（I）可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（

1

a

），且f（

1

a

）＞0，
不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，
则0＜x₁＜

1

a

＜x₂，
由（II）得，f（

2

a

-x₁）=f（

1

a

+

1

a

-x1）＞f（x₁）=f（x₂）=0，
又f（x）在（

1

a

，+∞）单调递减，
∴

2

a

-x₁＜x₂，于是x₀=

x1+x2

2

＞

1

a

，
由（I）知，f′（ x₀）＜0．

点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．