Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足2a²_n+1+3a_n+1a_n-2a²_n=0（n∈N^*+）且a₃+

1

32

是a₂，a₄的等差中项，数列{b_n}的前n项和S_n=n²
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

，求证：T_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）对已知递推公式变形整理可得即

an+1

an

=

1

2

，结合等比数列的通项公式及a₃+

1

32

是a₂，a₄的等差中项可求a₂，进而可求a_n
由已知可得，b₁=s₁n≥2时，b_n=s_n-s_n-1可求b_n
（2）利用裂项求和即可求解T_n，即可证明不等式成立

解答：（1）解：∵2a²_n+1+3a_n+1a_n-2a²_n=0
即（2a_n+1-a_n）（a_n+1+2a_n）=0
∵a_n＞0
∴2a_n+1-a_n=0即

an+1

an

=

1

2

数列{a_n}是以

1

2

为公比的等比数列
∵a₃+

1

32

是a₂，a₄的等差中项
∴

1

16

+2a₃=a₂+a₄
∴

1

16

+2a2×

1

2

=a2+a2×

1

4

∴a2=

1

4

，an=a2•(

1

2

)n-2=

1

4

•(

1

2

)n-2=(

1

2

)n
∵S_n=n²，
∴b₁=s₁=1
n≥2时，b_n=s_n-s_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
当n=1时，适合上式
∴b_n=2n-1
（2）由（1）可得，T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，及利用数列的和与项的递推公式求解通项，裂项求和方法的应用等知识的综合考查运用