题目内容

已知定义在R上的函数 $数学公式$ ，其中a为常数．
（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =ax³-3x²，∴f′（x）=3ax²-6x，
∵x=l是函数f（x）的一个极值点，∴f′（1）=0，
解得，a=2，此时f′（x）=6（x²-x）=6x（x-1），
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（-∞，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴a=2．
（2）由题意得g（x）=f（x）+f′（x）=ax³+3（a-1）x²-6x，a＞0且x∈[0，2]，
∴g′（x）=3ax²+6（a-1）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，
令g′（x）=0，即ax²+2（a-1）x-2=0，
且△=4（a-1）²+8a=4a²+4＞0，
∴方程ax²+2（a-1）x-2=0有两个不同的根，设为x₁，x₂，则
x₁x₂=- $\text{[math]}$ ＜0，不妨设x₁＜0＜x₂，
当0＜x₂＜2时，g（x₂）为极小值，则g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
当x₂≥2时，则g（x）在[0，2]上是单调减函数，
∴g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0），
综上得，g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
∵g（x）在x=0处取得最大值，∴g（0）≥g（2），
即0≥20a-24，得a≤ $\text{[math]}$ ，
∵a＞0，∴a∈（0， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）先求出函数f（x）的导函数f′（x），由题意f′（1）=0，解得a=2，再代入f′（x），验证在x=1处两侧的导数符号异号；
（2）由题意求出函数g（x）的导函数g′（x），再求g′（x）=0的两个根为x₁，x₂，再分类讨论与区间[0，2]的大小关系，求出g（x）的最大只能所有情况g（0）或g（2），根据条件列出g（0）≥g（2），代入解析式求出a的范围．
点评：本题主要考查了导数与函数的单调性，极值的关系，以及再给定区间上的最值问题，考查了分类讨论思想．