Question

已知函数f(x)=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）
（1）若f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，求a的取值范围；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，转化为x²+2x+a=0在[1，+∞）上有解，构造函数g（x）=x²+2x+a，由g（1）≤0即可求得a的取值范围；
（2）设1≤x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(x1 x 2   -a)

x1x2

，根据题意可得a≤1．

解答：解：（1）f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，即

x2+2x+a

x

=0在[1，+∞）上有解，等价于x²+2x+a=0在[1，+∞）上有解，…3′
令g（x）=x²+2x+a，则g（x）=（x+1）²+a-1的对称轴为x=-1，
∴当g（1）≤0时，g（x）=（x+1）²+a-1的图象在[1，+∞）上与x轴有一个交点，即x²+2x+a=0在[1，+∞）上有解．
由g（1）≤0得3+a≤0，即a≤-3…．（6分）
（2）设1≤x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

x12+2x1+a

x1

-

x22+2 x   2 +a

x2

=

(x1-x2)(x1 x   2 -a)

x1x2

…（9分）
∵f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，可得x₁x₂＞a，而x₁x₂＞1，
∴a≤1…（12分）

点评：本题考查二次函数的性质，将f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，转化为x²+2x+a=0在[1，+∞）上有解是关键，突出考查分类讨论思想与转化思想，属于中档题．