Question

如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．
（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；
（2）当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究PQ的最小值；
（3）当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得P（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），设Q（0，a，m）（0≤m≤a），由空间两点之间的距离公式，可得PQ=

1 2 a2+( 1 2 a-m)2

，结合二次函数的性质加以研究，可得当且仅当Q为CD的中点时PQ有最小值

2

2

a；
（2）根据题意，得Q（0，a，

1

2

a），设P（n，n，a-n）（0≤n≤a），由空间两点之间的距离公式，可得PQ=

3(n- 1 2 a)2+ 1 2 a2

，结合二次函数的性质加以研究，可得当且仅当P为AB的中点时，PQ的最小值为

2

2

a；
（3）设P（λ，λ，a-λ），Q（0，a，μ）（0≤λ≤a且0≤μ≤a），可得PQ关于λ、μ的表达式，用与（1）（2）类似的方法加以研究，结合二次函数的性质可得当且仅当P、Q分别为AB、CD的中点时，PQ的最小值为

2

2

a．

解答：解：∵正方体的棱长为a，∴A（a，a，0），B（0，0，a），C（0，a，0），D（0，a，a）
可得AB的中点为（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），CD中点为（0，a，

1

2

a）
（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，
可得P（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），设Q（0，a，m）（0≤m≤a）
∴PQ=

( 1 2 a-0)2+( 1 2 a-a)2+( 1 2 a-m)2

=

1 2 a2+( 1 2 a-m)2

≥

1 2 a2+( 1 2 a- 1 2 a)2

=

2

2

a
当且仅当m=

1

2

a时，即Q为CD的中点时，PQ的最小值为

2

2

a；
（2）当P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，
可得Q（0，a，

1

2

a），设P（n，n，a-n），（0≤n≤a）
PQ=

(0-n)2+(a-n)2+( 1 2 a-a+n)2

=

3(n- 1 2 a)2+ 1 2 a2

≥

3( 1 2 a- 1 2 a)2+ 1 2 a2

=

2

2

a
当且仅当n=

1

2

a时，即P为AB的中点时，PQ的最小值为

2

2

a；
（3）设P（λ，λ，a-λ），Q（0，a，μ）（0≤λ≤a且0≤μ≤a）
可得PQ=

λ2+(λ-a)2+(a-λ-μ)2

=

2(λ- a 2 )2+(a-λ-μ)2+ 1 2 a2

∵2（λ-

a

2

）²≥0，（a-λ-μ）²≥0，
∴2（λ-

a

2

）²+（a-λ-μ）²+

1

2

a2≥

1

2

a2，当且仅当λ-

a

2

=a-λ-μ=0时，等号成立
此时λ=μ=

1

2

a，所以当且仅当P、Q分别为AB、CD的中点时，PQ的最小值为

2

2

a．

点评：本题在正方体中求两个动点之间的距离的最小值，着重考查了空间两点之间的距离公式、二次函数的性质和正方体中的距离探索等知识，属于中档题．