题目内容
如图，在四棱锥
中，
平面
，
平面，
，
．
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
【答案】
(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)
【解析】
试题分析：(Ⅰ)根据两个平面垂直的条件，在平面
内找到一条垂直于平面
的直线即可，取
的中点
，可证明
平面；(Ⅱ) 二面角
与二面角
相等，二面角的平面角为
，求出即可.（解法2采用的是向量的方法，求出平面、的法向量，即可证明平面
平面；求出平面
、的法向量，即可求出二面角.）
(Ⅰ)证明：取
的中点
，的中点，连
，
，
，则
平面
，
平面，∴
，
是平行四边形，
.
，
，又
平面.
平面.
平面.
从而平面
平面. 6分
(Ⅱ)二面角与二面角相等，
由(Ⅰ)知二面角的平面角为.
，
，
得
，
，
为正方形，
，
∴二面角的大小为． 12分
解法2：取的中点，连.
，，又平面.
以为原点建立如图空间直角坐标系
，
则由已知条件有: 
，
，
设平面的法向量为
，
则由
及
可取
又平面，
，
平面，
∴平面的法向量可取为
.
， ∴
，∴平面平面.
6分
（Ⅱ）设平面的法向量为
，
则由
及
可取
∵平面的法向量可取为，
∴锐二面角的余弦值为
，
∴二面角的大小为
．
12分.
考点：空间位置关系、二面角、平面向量.
练习册系列答案
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18、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中点，过A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中点．
如图，在四棱锥
中，侧面
垂直，底面
，
是
中点，过
、
三点的平面交
于
． 
； (2)求证：
中点；(3)求证：平面
⊥平面
.
中，底面
为菱形，
，
为
的中点。
在线段
上，
，
试确定
的值，使
平面
；
平
的大小。
中，底面
为菱形，
，
为
的中点。
在线段
上，
，
的值，使
平面
；
平
的大小。