Question

我们称正整数n为“好数”，如果n的二进制表示中1的个数多于0的个数．如6=（110）₂为好数；1984=（11111000000）₂不为好数．则：
（1）二进制表示中恰有5位数码的好数共有

11

个；
（2）不超过2013的好数共有

1065

个．

Answer 1

分析：（1）二进制表示中恰有5位数码的二进制数共有16个，结合“好数”的定义，即可得到答案；
（2）整数2013的二进制数为：11111011100，结合“好数”定义即可得到答案．

解答：解：（1）二进制表示中恰有5位数码的二进制数分别为：
10000，10001，10010，10011，
10100，10101，10110，10111，
11000，11001，11010，11011，
11100，11101，11110，11111，共十六个数，
再结合好数的定义，得到其中好数有11个；
（2）整数2012的二进制数为：11111011100，它是一个十一位的二进制数．
其中一位的二进制数是：1，共有

C

1 1

个；
其中二位的二进制数是：11，共有

C

2 2

个； 
其中三位的二进制数是：101，110，111，共有

C

1 2

+C

2 2

个； 
其中四位的二进制数是：1011，1101，1110，1111，共有

C

2 3

+

C

3 3

个； 
其中五位的二进制数是：10011，10101，10110，11001，11010，11100，10111，11011，11101，11110，11111，共有

C

2 4

+

C

3 4

+

C

4 4

个； 
…
以此类推，其中十位的二进制数是：共有

C

4 9

+

C

5 9

+

C

6 9

+

C

7 9

+

C

8 9

+

C

9 9

个；
其中十一位的小于2013二进制数是：共有2⁴+5个；
一共不超过2013的好数共有1165个．
故答案：11；1065．

点评：本题考查新概念，注意要紧扣新概念，把问题转化为我们熟知的问题来解决．