Question

已知函数f（a^x）=x，g（x）=2log_a（2x+t-2），其中a＞0且a≠1，t∈R．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并指出其定义域；
（2）若t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，求实数a的值；
（3）已知0＜a＜1，当x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数y=f（x）的解析式，可以用换元法求解；
（2）根据函数的性质判断出函数的最小值，令其等于2，利用此方程求出实数a的值；
（3）令F（x）=g（x）-f（x），求出其在x∈[1，2]时最大值，让最大值小于等于0即可得到实数t的不等式，解此不等式即可．

解答：解：（1）令m=a^x，则x=log_am，则y=f（x）=log_ax，定义域为（0，+∞）；
（2）由题F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-log_ax=log_a

4x 2+8x+4

x

=og_a（4x+

4

x

+8），
∵4x+

4

x

+8≥16，等号当且仅当4x=

4

x

，即当x=1时成立
又F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，可得a＞1，且log_a16=2
故a²=16，解得a=4
（3）f（x）≥g（x），可得log_ax≥2log_a（2x+t-2），
又0＜a＜1，可得

x

≤2x+t-2，可得t≥

x

-2x+2=-2(

x

-

1

4

) 2+

17

8

由0＜a＜1，当x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立可得
t≥

x

-2x+2=-2(

x

-

1

4

) 2+

17

8

在x∈[1，2]恒成立
由于x=1时-2(

x

-

1

4

) 2+

17

8

取到最大值1
可得t≥1

点评：本题考查函数的恒成立的问题，函数恒成立问题的求解，关键正确转化，通过过转化为其等价的方程或不等式解决恒成立的问题中的参数的范围，是此类题的固定思路．本题抽象难以理解．