Question

【题目】已知集合D＝{（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2＝k}（其中k为正常数）．

（1）设，求的取值范围

（2）求证：当时，不等式对任意恒成立

（3）求使不等式对任意恒成立的的范围

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值；

（2）结合（1）中的范围直接将左边展开，利用u在上单调递增即可比较；

（3）结合（2）将（3）转化为求使对恒成立的的范围，利用函数的单调性解决，或者作差法求解．

（1），当且仅当时等号成立，

故u的取值范围为．

（2）

由，又k≥1，k2﹣1≥0，

∴f（u）＝u在上是增函数

所以

即当k≥1时不等式成立．

（3）

记，

则，

即求使对恒成立的k2的范围．

由（2）知，要使

对任意（x1，x2）∈D恒成立，必有0＜k＜1，

因此1﹣k2＞0，

∴函数在上递减，在上递增，

要使函数f（u）在上恒有，必有，即k4+16k2﹣16≤0，

解得．