Question

已知数列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想a_n的通项公式，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）在数列递推式中，令n=1求出a₂，令n=2求出a₃，，令n=3求出a₄．
（2）由（1）应猜想a_n=2ⁿ-1．用数学归纳法证明即可．

解答：解：（1）n=1时 a₂=2×1+1=3
n=2时 a₃=2×3+1=7
n=3时 a₄=2×7+1=15
（2）猜想a_n=2ⁿ-1．证明
①当n=1时，a₁=2¹-1=1，命题成立．
②假设n=k（k≥1）时命题成立．即 a_k=2^k-1．
那么n=k+1时，a_k+1=2×a_k+1=2×（2^k-1）+1=2^k+1-1．命题对n=k+1也成立
综上①②可知命题对一切自然数都成立．

点评：本题考查了由特殊到一般的归纳推理，以及数学归纳法证明命题．题目虽简单，但具有一定的代表性，经历了如下的思维过程：计算，归纳猜想，证明．