Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）若∠PAD=45°，求证：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）证明：取PD中点E，证明 EN和 AM平行且相等，AMNE为平行四边形，可得MN∥AE．再利用直线和平面平行的判定定理证得MN∥平面PAD．
（2）先证明△PAD为等腰直角三角形，又E是PD中点可得MN⊥PD；再证明MN⊥CD，利用直线和平面垂直的判定定理证得MN⊥平面PCD．

解答：解：（1）证明：取PD中点E，连结AE，EN，则有EN 平行且等于

1

2

CD，AM平行且等于

1

2

CD，
故有 EN和 AM平行且相等，∴AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．
又AE?平面PAD，而 MN不在平面PAD内，所以MN∥平面PAD．-------（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥AD．
又∠PDA=45°，∴△PAD为等腰直角三角形．
又E是PD中点，∴AE⊥PD，又AE∥MN，∴MN⊥PD．
又ABCD为矩形，∴AB⊥AD．
又AB⊥PA，AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，AB⊥AE，又AB∥CD，AE∥MN，∴MN⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴MN⊥平面PCD．…（12分）

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，直线和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．