Question

【题目】数列中，，当时，的前项和满足

（1）求的表达式；

（2）设，数列的前项和为，求；

（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，使得成等比数列．

【解析】

（1）根据与的关系即可找出与的关系，构造等差数列， 即可求出的表达式；

（2）将的表达式代入求得，再根据裂项相消法求出，化简可得 ，由数列极限的运算法则即可求出；

（3）假设存在，根据成等比数列得到，看是否能解出符合的解即可判断．

（1）当时，，代入，化简可得，

，所以数列为等差数列，即有，

故．

（2）由（1）知，，所以，

，

故．

（3）假设存在，根据成等比数列得到，即，

化简得，，所以，又因为，解得

，而，，故，代入，解得．

综上，存在，使得成等比数列．