Question

（2013•哈尔滨一模）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙的直径，弦BD，CA 的延长线相交于点E，EF垂直BA 的延长线于点F．
求证：
（1）BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）E，F，C，B四点共圆．

Answer 1

分析：（1）连接CD后，根据圆周角定理及∠BEC为△ABE与△CDE的共公角，我们易得△ABE∽△CDE，根据相似三角形性质，结合比例的性质，易得答案．
（2）AB是⊙O的直径所对的圆周角为直角，易得△ECB为直角三角形，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，我们易得E，F，C，B到点D的距离相等，即E，F，C，B四点共圆．

解答：解：（1）连接CD，如下图所示：
由圆周角定理，我们可得∠C=∠B
又由∠BEC为△ABE与△CDE的共公角，
∴△ABE∽△CDE，
∴BE：CE=AE：DE，
∴BE•DE=CE•AE
∴BE•DE+AC•CE=CE²（3分）
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ECB=90°，
∴CD=

1

2

BE
同理，FD=

1

2

BE，
所以，E，F，C，B到点D的距离相等，
∴E，F，C，B四点共圆．（10分）

点评：本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，四点共圆的判定，（2）中利用∠ADB=EFB=90°，根据圆内接四边形判定定理，也可证明E，F，C，B四点共圆．