Question

已知＝（c，0），＝（n，n），||的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：

①||＝||（a＞c＞0）；

②＝λ（其中＝（,t)，λ≠0，t∈R）；

③动点P的轨迹C经过点B（0，-1）.

（1）求c的值；

（2）求曲线C的方程；

（3）是否存在方向向量为a₀＝（1，k）（k≠0）的直线l，使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且||＝||？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解:（1）解法一：||=，当n=时，||_min==1，所以c=.

解法二：设G（x，y），则G在直线y=x上，所以||的最小值为点F到直线y=x的距离，即=1，得c=.                                            

（2）∵=λ(λ≠0),∴PE垂直于直线x=又||=||（a＞c＞0）,∴点P在以F为焦点，x=为准线的椭圆上.设P（x，y），则有|-x|，将点B（0，-1）代入，解得a=，∴曲线C的方程为+y²=1.                                                                   

（3）假设存在方向向量为a₀=（1，k）（k≠0）的直线l满足条件,则可设l：y=kx+m（k≠0），与椭圆+y²=1联立，消去y得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0.由判别式Δ＞0，可得m²＜3k²+1.

                                                                            ①

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），由||=||，则有BP⊥MN.韦达式定理代入k_BP=-，可得到m=.②                             

联立①②，可得到k²-1＜0，∵k≠0，∴-1＜k＜0或0＜k＜1.

即存在k∈（-1，0）∪（0，1），使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且||=||.