Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，交于点，为的重心.

（1）求证：平面；

（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

(1)根据题意先证明 ，结合线面平行的判定定理即可得到结果；(2) 分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到二面角的余弦值.

（1）证明：因为，所以，

因为为中点，所以，

连接并延长，交于，连接，

因为为的重心，

所以为的中点，且，

所以，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

设，则，，，，

因为，所以，

因为为的重心，所以

设平面的法向量，，，

则，所以，

取，则，，

所以.

设平面的法向量，，

则，所以，

则，取，则，

所以.

所以

由图可知，该二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.