Question

已知函数f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+

1

2

x2+（b-3）x．
（1）当a＞0且a≠1，f'（1）=0时，试用含a的式子表示b，并讨论f（x）的单调区间；
（2）若f'（x）有零点，f'（3）≤

1

6

，且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有f'（x）≥0．
①求f（x）的表达式；
②当x∈（-3，2）时，求函数y=f（x）的图象与函数y=f'（x）的图象的交点坐标．

Answer 1

分析：（1）此题考查的是函数的单调性和导数知识的综合问题．在解答时应首先考虑函数的定义域优先原则求出定义域，然后对函数求导，由导函数小于或小于零，即可获得解答．
（2）①由（1）及f′(3)≤

1

6

?a≤-3b-8又由|x|≥2（x＞-3）有f'（x）≥0知f'（x）的零点在[-2，2]内，设g（x）=x²+bx+a，建立关于a，b的不等关系，结合（i）解得a，b．从而写出f（x）的表达式；
②又设φ（x）=f（x）-f'（x），先求φ（x）与x轴在（-3，2）的交点，再利用导数研究其单调性，得出φ（x）与x轴有唯一交点（-2，0），即f（x）与f'（x）的图象在区间（-3，2）上的唯一交点坐标为（-2，16）为所求．

解答：解：（1）f′(x)=

x2+bx+a

x+3

（x＞-3）…（2分）
由f'（1）=0?b=-a-1，故f′(x)=

(x-1)(x-a)

x+3

0＜a＜1时     
由f'（x）＞0得f（x）的单调增区间是（-3，a），（1，+∞）
由f'（x）＜0得f（x）单调减区间是（a，1）
同理a＞1时，f（x）的单调增区间（-3，1），（a，+∞），单调减区间为（1，a）…（5分）
（2）①由（1）及f′(3)≤

1

6

?a≤-3b-8（i）
又由|x|≥2（x＞-3）有f'（x）≥0知f'（x）的零点在[-2，2]内，设g（x）=x²+bx+a，
则

g(2)≥0 g(-2)≥0 -2≤- b 2 ≤2

?

a≥-4-2b a≥2b-4 -4≤b≤4

，
由b²-4a≥0结合（i），解得b=-4，a=4…（8分）
∴f(x)=25ln(x+3)+

1

2

x2-7x…（9分）
②又设φ（x）=f（x）-f'（x），先求φ（x）与x轴在（-3，2）的交点
∵φ′(x)=

(x-2)2

x+3

+

25

(x+3)2

-1，由-3＜x＜2得 0＜（x+3）²＜25
故φ'（x）＞0，φ（x）在（-3，2）单调递增
又φ（-2）=16-16=0，故φ（x）与x轴有唯一交点（-2，0）
即f（x）与f'（x）的图象在区间（-3，2）上的唯一交点坐标为（-2，16）为所求 …（13分）

点评：此题考查的是函数的单调性和导数知识的综合问题．在解答过程当中充分体现了定义于优先的原则、求导的思想、问题转化的思想．值得同学们体会反思．