题目内容
【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点． 
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值．
【答案】
（1）证明：∵直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），
D 
．
∵ 
，∴ 
，即AC⊥BC1
（2）证明：设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2）， 
，
∴ 
，即DE∥AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1
（3）解： 
= ，设平面CDB1的一个法向量为 
=（x，y，z），则 
，则 
，
可求得平面CDB1的一个法向量为 =（4，﹣3，3）．
取平面CDB的一个法向量为 
，
则 
= 
= 
= 
．
由图可知，二面角B﹣DC﹣B1的余弦值为 ．
【解析】（1）直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．只要证明 ，即可证明AC⊥BC1 ． （2）设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），可得 ，即DE∥AC1 ， 即可证明AC1∥平面CDB1 ． （3）设平面CDB1的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，可求得平面CDB1的一个法向量为 
．取平面CDB的一个法向量为 ，利用 = 即可得出．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．
