Question

4．已知f（x）=x³+ax²+bx+c，若f（x）在（-1，0）上单调递减，则a²+b²的取值范围为$[{\frac{9}{5}，+∞}）$．

Answer 1

分析 由题意可知f′（x）≤0在（-1，0）上恒成立，从而结合f′（x）=3x²+2ax+b的图象开口向上可得不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3-2a+b≤0}\\{f′（0）=b≤0}\end{array}\right.$，从而转化为线性规划问题求解即可．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）在（-1，0）上单调递减，
∴f′（x）≤0在（-1，0）上恒成立，
∵f′（x）=3x²+2ax+b的图象开口向上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3-2a+b≤0}\\{f′（0）=b≤0}\end{array}\right.$，
作不等式组表示的平面区域如下，
，
a²+b²的几何意义是阴影内的点与原点的距离的平方，
且原点到直线3-2a+b=0的距离的平方为
$\frac{|3-0{|}^{2}}{{2}^{2}+1}$=$\frac{9}{5}$；
故a²+b²≥$\frac{9}{5}$；
故答案为：$[{\frac{9}{5}，+∞}）$．

点评 本题考查了导数与不等式的综合应用，同时考查了a²+b²的几何意义的应用，综合性较强．