题目内容

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）
（1）当 $数学公式$ 时，若f（x）在（0，m]上是单调函数，求m的取值范围；
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为 $数学公式$ ，求a的值．

解：对函数求导得： $\text{[math]}$ ，定义域为（0，2）
（1）由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1
当a=1时，f′（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜ $\text{[math]}$ 时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0， $\text{[math]}$ ＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0， $\text{[math]}$ ），单调减区间为（ $\text{[math]}$ ，2），
若f（x）在（0，m]上是单调函数，则m $\text{[math]}$ ．
∴m的取值范围：0＜m $\text{[math]}$ ．
（2）当x∈（0，1]时， $\text{[math]}$ ＞0，
得（0，1]为单调递增区间．
从而最大值在右端点取到． $\text{[math]}$
所以a= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先利用定积分求出a=1，f′（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间，从而得出m的取值范围．
（2）函数在区间（0，1]上的最值问题，利用导数研究其单调性，结合极值点和端点的比较得到其最值，即可确定待定量a的值．
点评：考查定积分、利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识．