Question

已知函数f(x)=f(π-x)，且当x∈(-

π

2

，

π

2

)时，f(x)=x+sinx，设a=f(1)，b=f（2），c=f（3），则（　　）

A．c＜a＜b

B．b＜c＜a

C．c＜b＜a

D．a＜b＜c

Answer 1

分析：由条件可得：函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称，当 x∈(0，

π

2

)时，f（x）=x+sinx，是增函数，故函数y=f（x）在（

π

2

，π ）上是减函数，结合图象特征，得到答案．

解答：解：∵函数y=f（x）满足f（x）=f（π-x），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称，
因为当 x∈(0，

π

2

)时，f（x）=x+sinx，
所以f′（x）=1+cosx＞0在(0，

π

2

)上恒成立，
所以函数在(0，

π

2

)上是增函数，
所以函数y=f（x）在（

π

2

，π ）上是减函数．
因为2距离对称轴最近，其次是1，最远的时3，
所以根据函数的有关性质可得：f（3）＜f（1）＜f（2），即 c＜a＜b，
故选A．

点评：本题考查正弦函数的单调性，图象的对称性，判断函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称，且当 x∈(0，

π

2

)时，f（x）=x+sinx 是增函数，是解题的关键．