Question

【题目】设函数．

求的单调区间；

当时，若对任意的，都有，求实数的取值范围；

证明不等式.

Answer 1

【答案】（1）的递减区间为，递增区间为；（2）；（3）详见解析

【解析】

求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；问题等价于对恒成立，令，根据函数的单调性求出的取值范围，从而可得结果； 由知对任意的恒成立，令得：，，累加即可证明结论．

函数的定义域为，

令，则，

当时，递增区间为，没有递减区间；

时，当时，，当时，，

所以的递减区间为，递增区间为

，即，

，，

原不等式等价于对恒成立，令，

则对恒成立，

时，，

故所求a的范围为

由知不等式对任意的和恒成立，

则对任意的恒成立，令得：

，

，2，，n，再迭加即可，

得