Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1），点P（0，m）（m≠0）．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点P且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，点P关于原点的对称点Q，若m＜0，求使得△QAB面积最大的m的值；
（3）设过P点的直线交抛物线C于M、N两点，是否存在这样的点P，使得为定值？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线C的方程是x²=ay，
则 =1，
即a=4．
故所求抛物线C的方程为x²=4y．
（2）y=x+m代入x²=4y，得
x²-4x-4m=0，
|AB|=，
∴

m	m	-	-
3m2+2m	+	0	-

∴当m=-时，S_△QAB有最大值．
（3）假设存在这样的点P，设直线MN的方程为y=kx+m，
代入方程，得x²-4kx-4m=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△＞0，k²+m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
①当m＜0时，（）=不是定值．
②当m＞0时，=，
在上式中，令k=0，1，得，
∴m=1时，为定值，
存在点P（0，1）．
分析：（1）设抛物线C的方程是x²=ay，根据焦点为F的坐标求得a，进而可得抛物线的方程．
（2）y=x+m代入x²=4y，得x²-4x-4m=0，|AB|=，，由此知当m=-时，S_△QAB有最大值．
（3）假设存在这样的点P，设直线MN的方程为y=kx+m，代入方程，得x²-4kx-4m=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△＞0，k²+m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，由此能够推导出m=1时，为定值，存在点P（0，1）．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．