Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=1nx-ax²．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（-x，y）在g（x）的图象上．
当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，则f（x）=g（-x）=ln（-x）-ax²．（2分）
∵f（x）为[-1，1]上的奇函数，则f（0）=0．（4分）
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），f（x）=-f（-x）=-lnx+ax²．（6分）
∴f（x）=

ln(-x)-ax2(-1≤x＜0) 0  (x=0) -lnx+ax2(0＜x≤1)

（7分）
（2）由（1）知，f'（x）=-

1

x

+2ax．
①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，则-

1

x

+2ax≤0?a≤

1

2x2

．
此时，a≤

1

2

，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）_min=f（1）=a，
∴f（x）的值域为[a，+∞）与|f（x）|≥1矛盾．（11分）
②当a＞

1

2

时，令f'（x）=-

1

x

+2ax=0?x=

1 2a

∈（0，1]，
∴当x∈（0，

1 2a

）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（

1 2a

，1]时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）_min=f（

1 2a

）=-ln

1 2a

+a( 

1 2a )

2=

1

2

ln2a+

1

2

．
由|f（x）|≥1，得

1

2

ln2a+

1

2

≥1?≥

e

2

．（15分）
综上所述，实数a的取值范围为a≥

e

2

．（16分）