Question

【题目】已知函数f（x）＝|x|+|x﹣λ|，其中λ．

（1）若对任意x∈R，恒有f（x），求λ的最大值；

（2）在（1）的条件下，设λ的最大值为t，若正数m，n满足m+2n＝mnt，求2m+n的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）36

【解析】

（1）对任意x∈R，恒有f（x）f（x）min，再用绝对值不等式的性质求得f（x）的最小值代入可求得λ的最大值；

（2）由（1）知t，m+2nmn，∴，再变形后用基本不等式可求得．

（1）∵f（x）＝|x|+|x﹣λ|≥|（x）﹣（x﹣λ）|＝|λ|，∴f（x）min＝|λ|，

对任意x∈R，恒有f（x）|λ|，解得λ或λ，

又已知λ，故λ，所以λ的最大值为．

（2）由（1）知t，m+2nmn，∴，

∴2m+n＝（2m+n）×4（）＝4（4+1）≥4（5+2）＝36

当且仅当m＝n＝12时取等．

2m+n的最小值为36．