Question

已知函数f(x)=

1+sinx+cosx+sin2x

1+sinx+cosx

，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，2π]上的最值．

Answer 1

分析：将函数解析式分子中的“1”利用同角三角函数间的基本关系变形为sin²x+cos²x，与最后一项利用完全平方公式变形，提取公因式sinx+cosx，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出f（x）的最大值与最小值即可．

解答：解：f（x）=

sin2x+cos2x+sinx+cosx+2sinxcosx

1+sinx+cosx

=

(sinx+cosx)2+sinx+cosx

1+sinx+cosx

=

(sinx+cosx)(1+sinx+cosx)

1+sinx+cosx

=sinx+cosx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）=

2

sin（x+

π

4

），
（1）∵ω=1，∴T=

2π

1

=2π；
（2）∵x∈[0，2π]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，
当x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

4

时，f（x）取得最大值

2

；当x+

π

4

=

3π

2

，即x=

5π

4

时，（x）取得最小值-

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．