题目内容

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= $数学公式$ PD．
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（II）求二面角Q-BP-C的余弦值．

解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz；
（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；
则 $\text{[math]}$ =（1，1，0）， $\text{[math]}$ =（0，0，1）， $\text{[math]}$ =（1，-1，0），
所以 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0；
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
故PQ⊥平面DCQ，
又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），
$\text{[math]}$ =（1，0，0）， $\text{[math]}$ =（-1，2，-1）；
设 $\text{[math]}$ =（x，y，z）是平面的PBC法向量，
则 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，
因此可取 $\text{[math]}$ =（0，-1，-2）；
设 $\text{[math]}$ 是平面PBQ的法向量，则 $\text{[math]}$ ，
可取 $\text{[math]}$ =（1，1，1），
所以cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞=- $\text{[math]}$ ，
故二面角角Q-BP-C的余弦值为- $\text{[math]}$ ．
分析：首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz；
（Ⅰ）根据坐标系，求出则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标，由向量积的运算易得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；
（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标，进而求出平面的PBC的法向量 $\text{[math]}$ 与平面PBQ法向量 $\text{[math]}$ ，进而求出cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．
点评：本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算．