Question

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量
，当实数λ满足x=λx₁+（1-λ）x₂时，记向量
。定义“函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指“≤k恒成立”，其中k是一个确定的正数，
（Ⅰ）设函数f（x）=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（Ⅱ）求证：函数g（x）=lnx在区间（m∈R）上可在标准下线性近似。（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

Answer 1

解：（Ⅰ）由得到，
所以B，N，A三点共线，
又由x=λx₁+（1-λ）x₂与向量，得N与M的横坐标相同，
对于[0，1]上的函数，y=x²，A（0，0），B（1，1），
则有=，故，
所以k的取值范围是；
（Ⅱ）对于上的函数y=lnx，，
则直线AB的方程，
令h（x）=lnx-m-，其中x∈（m∈R），
于是h′（x）=，
列表如下：

则=h（x），且在处取得最大值，
又，
从而命题成立。