Question

已知点P（x，y）的坐标满足条件

x≤1 y≤2 2x+y-2≥0

，那么（x+1）²+y²的取值范围为（　　）

• A．[2，8]
• B．（2，8]
• C．[

  16

  5

  ，8]
• D．（

  16

  5

  ，8]

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，设P（x，y）、Q（-1，0），可得（x+1）²+y²=|QP|²表示Q、P两点距离的平方，因此运动点P并加以观察得到|QP|的最大、最小值，即可得到（x+1）²+y²的取值范围．

解答：解：作出不等式组

x≤1 y≤2 2x+y-2≥0

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，
其中A（1，0），B（0，2），C（1，2）
设P（x，y）为区域内一个动点，定点Q（-1，0）
则|PQ|=

(x+1) 2+y 2

，
因此（x+1）²+y²=|QP|²表示Q、P两点距离的平方之值
∵当P与C重合时|QP|=

(-1-1)2+(0-2)2

=2

2

达到最大值，
当P与Q在AB上的射影D重合量，|QP|=

|-2+0-2|

5

=

4 5

5

达到最小值
∴|QP|²的最小值为

16

5

，最大值为8，即（x+1）²+y²的取值范围是[

16

5

，8]
故选：C

点评：本题给出二元一次不等式组，求（x+1）²+y²的取值范围，着重考查了两点的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．