Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1
（1）求函数f（x）的极值点．
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．
（3）证明：

ln2

3

+

ln3

8

+

ln4

15

+…+

lnn

n2-1

＜

(n+4)(n-1)

6

（n∈N，n＞1）．

Answer 1

（1）f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）=

1

x-1

-k．
当k≤0时，∵x-1＞0，∴f′（x）＞0，则f（x） 在（1，+∞）上是增函数．
f（x）在（1，+∞）上无极值点．
当 k＞0时，令f′（x）=0，则 x=1+

1

k

． 所以当x∈（1，1+

1

k

 ）时，f′（x）=

1

x-1

-k＞

1

1+ 1 k -1

-k=0，
∴f（x）在∈（1，1+

1

k

 ）上是增函数，
当x∈（1+

1

k

，+∞） 时，f′（x）=

1

x-1

-k＜

1

1+ 1 k -1

-k=0，∴f（x）在∈（1+

1

k

，+∞）  上是减函数．
∴x=1+

1

k

 时，f（x）取得极大值． 
综上可知，当 k≤0时，f（x）无极值点；  当k＞0时，f（x）有唯一极值点 x=1+

1

k

．
（2）由1）可知，当k≤0时，f（2）=1-k＞0，f（x）≤0 不成立．
故只需考虑k＞0．
由1）知，f（x）_max=f（1+

1

k

 ）=-lnk，
若f（x）≤0 恒成立，只需 f（x）_max=f（1+

1

k

 ）=-lnk≤0 即可，
化简得：k≥1．所以，k 的取值范围是[1，+∞）．
3）由2）知，当k=1时，lnx＜x-1，x＞1．
∴lnn³＜n³-1=（n-1）（n²+n+1）＜（n-1）（n+1）²．
∴

lnn

n2-1

＜

n+1

3

，n∈N，n＞1．
∴

ln2

3

+

ln3

8

+

ln4

15

+…+

lnn

n2-1

＜

1

3

 （3+4+5+…+n+1）=

1

3

×

(3+n+1)

2

（n-1）
=

(n+4)(n-1)

6

，n∈N，n＞1．