Question

【题目】已知函数．

（I）若函数在点处的切线方程为，求的值；

（II）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）；（II）．

【解析】

试题分析：（I）求导再由切线方程得：；（II）令，再利用转化思想将原命题等价转化为在区间上恒成立．然后利用分类讨论思想，并借助导数工具，求得:当时，函数的图象恒在直线下方．

试题解析：（I）由题知，，………………1分

又，即，∴．………………2分

∴，∴．

所以切点为，代入切线方程得：，∴．………………4分

（II）令，则的定义域为．

在区间上函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立．

∵，………………5分

令，得或．………………6分

①若，则．∴在上有，在上有．

∴在上递减，在上递增．

∴，

∴与在区间上恒成立相背，不符合题意．………………8分

②若时，则，∵在上有，∴在区间递增．

∴,∴不符合题意．………………10分

③若，则，∵在区间上有，则在区间递减．

∴在恒成立，要使在恒成立，只需．

∴，

∴．

综上，当时，函数的图象恒在直线下方．………………12分