Question

已知数列{a_n}满足：（其中常数λ＞0，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：当λ=4时，数列{a_n}中的任何三项都不可能成等比数列；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和．求证：若任意n∈N^*，（1-λ）S_n+λa_n≥3．

Answer 1

（Ⅰ）解：由①，
取n=1时，求得a₁=3，
当n≥2时，有②，
①-②得：．∴．
又a₁=3也适合上式，
所以，．
（Ⅱ）证明：当λ=4时，．
下面用反证法证明
假设存在a_r，a_s，a_t成等比数列，
则[（2r+1）•4^r-1]•[（2t+1）•4^t-1]=（2s+1）²•4^2s-2．
整理得（2r+1）（2t+1）•4^r+t-2s=（2s+1）²．
等式右边为奇数，要使左边等于右边，则r+t-2s=0．
所以，（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）²，整理得（r-t）²=0，∴r=t．这与r≠t矛盾，
故不存在这样的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列．
（Ⅲ）证明：S_n=a₁+a₂+…+a_n
=3+5λ+7λ²+…+（2n+1）λ^n-1．
当λ=1时，．
当λ≠1时，S_n=3+5λ+7λ²+…+（2n+1）λ^n-1③．
④．
③-④得：
=．
所以，当λ=1时，不等式左边=（1-λ）S_n+λa_n=a_n=2n+1≥3，结论显然成立；
当λ≠1时，不等式左边=
=．
而λ＞0，1-λ和1-λ^n-1同号，故．
∴（1-λ）S_n+λa_n≥3．
综上，（1-λ）S_n+λa_n≥3对任意n∈N^*都成立．
分析：（Ⅰ）由给出的递推式知，n=1时，a₁=3，n≥2时，在递推式中取n=n-1得另一递推式，两式作差后可求a_n，验证首项后即可得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{a_n}的通项公式中，把λ值代4，利用反证法证明不存在正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列；
（Ⅲ）当λ=1时，利用等差数列求和求出S_n，当λ≠1时，利用错位相减法求出S_n，把求得的a_n和S_n代入要求证的不等式左边，整理后即可得到结论．
点评：本题考查了等比关系的确定，考查了利用错位相减法求数列的前n项和，考查了分类讨论得数学思想，训练了反证法，体现了整体代换思想，是很好的数列与不等式综合题．属中高档题．