Question

已知函数（为常数，为自然对数的底）
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数在上无零点，求的最小值；
（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）的减区间为，增区间为；
（2）的最小值为；
（3）的取值范围是.

试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用导数求出的单调递增区间和递减区间；（2）将函数在上无零点的问题转化为直线与曲线在区间上无交点，利用导数确定函数在区间上的图象，进而求出参数的取值范围，从而确定的最小值；（3）先研究函数在上的单调性，然后再将题干中的条件进行适当转化，利用两个函数的最值或端点值进行分析，列出相应的不等式，从而求出的取值范围.
试题解析：（1）时，
由得    得
故的减区间为 增区间为             3分
（2）因为在上恒成立不可能
故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立
即时，                      5分
令
则
再令
   于是在上为减函数
故
在上恒成立
在上为增函数
 在上恒成立
又
故要使恒成立，只要
若函数在上无零点，的最小值为           8分
（3）
当时，，为增函数
当时，，为减函数

函数在上的值域为                      9分
当时，不合题意
当时，
故
①                                     10分
此时，当变化时，，的变化情况如下

	—	0	+
	↘	最小值	↗

时，，

任意定的，在区间上存在两个不同的 
使得成立，
当且仅当满足下列条件
即  ②
即  ③                    11分
令
 令得
当时， 函数为增函数
当时， 函数为减函数
所以在任取时有
即②式对恒成立                      13分
由③解得  ④
由①④ 当时
对任意，在上存在两个不同的使成立