Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BE=

3

，EF=1，BC=

13

，且M是BD的中点．
（I）求证：EM∥平面ADF；
（II）求证：平面BDE⊥平面ABEF；
（Ⅲ）求三棱锥A-DEF的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；
（II）由线面垂直的判定定理，证出BD⊥平面ABEF，结合BD⊆平面BDE，可得平面BDE⊥平面ABEF；
（III）以△AEF作为底面，BD为高，可求出三棱锥D-AEF的体积，再用等体积转换可得三棱锥A-DEF的体积．

解答：解：（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN、NF．
∵△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB，
又∵EF∥AB，EF=

1

2

AB，
∴MN∥EF且MN=EF．得四边形MNFE为平行四边形，
∴EM∥FN．
又∵FN?平面ADF，EM?平面ADF，
∴EM∥平面ADF．…（4分）
（II）∵EB⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，
∴BD⊥EB
∵∠ABD=90°即BD⊥AB，且EB、AB是平面ABEF内的相交直线
∴BD⊥平面ABEF
∵BD⊆平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABEF；…（8分）
（III）∵BD⊥平面ABEF，即BD⊥平面AEF
∴BD是三棱锥D-AEF的高线
Rt△BDC中，BD=

BC2-CD2

=3，
而△AEF面积S=

1

2

×EF×BE=

3

2

因此可得三棱锥D-AEF的体积V=

1

3

S_△AEF×BD=

1

3

×

3

2

×3=

3

2

∴三棱锥A-DEF的体积V_A-DEF=V_D-AEF=

3

2

．…（8分）

点评：本题给出特殊多面体，求证线面平行、面面垂直，并求三棱锥的体积，着重考查了空间平行、垂直位置关系的证明和锥体体积求法等知识，属于中档题．