Question

已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为5，从这个圆上任一点p向x轴作垂线PP’，垂足为P’，M为线段PP’上一点，且满足：=4
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过电（3，0）且斜率为1的直线交曲线C于A、B两点，求弦AB的长．

Answer 1

【答案】分析：（I）设点M（x，y），点P的坐标为（x，y），由=4，可得：x=x_o，y=y，P（x，y）在圆x²+y²=25上，所以，x²+y²=25，由此能求出点M的轨迹C的方程．
（II）设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），由已知得直线方程：y=x-3，，整理得41x₂-150x-175=0，由韦达定理能导出弦AB的长度．
解答：解：（I）设点M（x，y），点P的坐标为（x，y），由=4，

可得：x=x_o，y=y，
P（x，y）在圆x²+y²=25上，所以，x²+y²=25，
将x_o=x，y=，y代入方程①，得，
故点M的轨迹C的方程为，
（II）设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），由已知得直线方程：y=x-3
，
将（2）代入整理得41x₂-150x-175=0
由伟达定理：．
所以：|AB|===，
故弦AB的长度为．
点评：本题考查点M的轨迹C的方程和求弦AB的长．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．