Question

（2010•郑州三模）定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足：函数f（x）的图象关于原点对称且过点（3，-6），函数f（x）在点x₁、x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=4．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）过点P（1，-8）的切线方程．

Answer 1

分析：（I）利用奇函数的性质可得b=d=0，因此f（x）=ax³+cx，又f（3）=27a+3c=-6   ①
由f′（x）=3ax²+c=0，得x1=-

- c 3a

，x2=

- c 3a

，即

- c 3a

=2，c=-12a   ②由①②即可解得．                                   
（II）由（I）知，f′（x）=2x²-8，分别解出f′（x）＞0时，f′（x）＜0即可得出其单调区间；
（III）设切点Q（x₀，y₀），则点Q处的切线方程为：y-y0=(

2x

2 0

-8)(x-x0)  ③
注意到y0=

2

3

x

3 0

-8x0及点P（1，-8）在此切线上，
有-8-

2

3

x

3 0

+8x0=(

2x

2 0

-8)(1-x0)，解出x₀即可．

解答：解：（I）由题意f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，解之得b=d=0
所以f（x）=ax³+cx，又f（3）=27a+3c=-6   ①
由f′（x）=3ax²+c=0，得x1=-

- c 3a

，x2=

- c 3a

即

- c 3a

=2，c=-12a   ②
由①②得a=

2

3

，c=-8
故f（x）=

2

3

x3-8x                                    
（II）由（I）知，f′（x）=2x²-8，
当f′（x）＞0时，解得x＜-2或x＞2；
当f′（x）＜0时，解得-2＜x＜2．
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞），单调减区间为（-2，2）． 
（III）设切点Q（x₀，y₀），则点Q处的切线方程为：y-y0=(

2x

2 0

-8)(x-x0)  ③
注意到y0=

2

3

x

3 0

-8x0及点P（1，-8）在此切线上，
有-8-

2

3

x

3 0

+8x0=(

2x

2 0

-8)(1-x0)，
整理得：2

x

3 0

-3

x

2 0

=0，即x₀=0或x0=

3

2

代入方程③得8x+y=0或7x+2y+9=0为所求．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、切线方程、函数的奇偶性等是解题的关键．