Question

如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O₁的半径为2r（r为常数），小飞轮O₂的半径为r，O₁O₂=4r．在大飞轮的边缘上有两个点A，B，满足∠BO1A=

π

3

，在小飞轮的边缘上有点C．设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B，C在水平直线O₁O₂上．
（1）求点A到达最高点时A，C间的距离；
（2）求点B，C在传动过程中高度差的最大值．

Answer 1

分析：（1）以O₁为坐标系的原点，O₁O₂所在直线为x轴，当点A到达最高点时，点A绕O₁转过

π

6

，则点C绕O₂转过

π

3

，确定A、C的坐标，即可求得A，C间的距离；
（2）由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0，2π]，可求得点B，C高度差为d=2r|sinθ-sinθcosθ|，构造函数f（θ）=sinθ-sinθcosθ，θ∈[0，2π]，求导函数确定函数的单调性、极值与最值，即可求得结论．

解答：解：（1）以O₁为坐标系的原点，O₁O₂所在直线为x轴，如图所示建立直角坐标系．
当点A到达最高点时，点A绕O₁转过

π

6

，则点C绕O₂转过

π

3

．（2分）
此时A（0，2r），C(

9

2

r，

3

2

r)．（4分）
∴AC=

25-2 3 r

．（5分）
（2）由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0，2π]．
此时B（2rcosθ，2rsinθ），C（4r+rcos2θ，rsin2θ），（6分）
记点B，C高度差为d，则d=|2rsinθ-rsin2θ|，即d=2r|sinθ-sinθcosθ|．（7分）
设f（θ）=sinθ-sinθcosθ，θ∈[0，2π]，则f′（θ）=（1-cosθ）（2cosθ+1）．（8分）
令f′（θ）=（1-cosθ）（2cosθ+1）=0，得cosθ=-

1

2

或1．（9分）
则θ=

2

3

π，

4

3

π，0或2π．（10分）
列表：

θ	0	（0， 2 3 π）	2 3 π	（ 2 3 π， 4 3 π）	4 3 π	（ 4 3 π，2π）	2π
f′（θ）		+	0	-	0	+
f（θ）	0	?	极大值f（ 2 3 π）	?	极小值f（ 4 3 π）	?	0

∴当θ=

2

3

π时，f（θ）取得极大值为

3 3

4

；当θ=

4

3

π时，f（θ）取得极小值为-

3 3

4

．
∴点B，C在传动中高度差的最大值d_max=

3 3

2

r．（14分）

点评：本题考查三角函数知识的运用，考查函数模型的构建，考查利用导数法解决实际问题，综合性强．