Question

对于函数f（x）=3sin（2x+

π

6

），给出下列命题：
①图象关于原点成中心对称
②图象关于直线x=

π

6

对称
③函数f（x）的最大值是3
④函数的一个单调增区间是[-

π

4

，

π

4

]
其中正确命题的序号为

②③

．

Answer 1

分析：利用正弦函数的单调性、对称性及最值等性质对①②③④逐个判断即可．

解答：解：∵f（x）=3sin（2x+

π

6

），
∴f（0）=

3

2

≠0，
∴其图象不关于原点成中心对称，故①错误；
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴函数f（x）=3sin（2x+

π

6

）的对称轴方程为：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
当k=0时，x=

π

6

，
∴其图象关于直线x=

π

6

对称，即②正确；
又当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

6

时，函数f（x）取到最大值3，故③正确；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）时，函数f（x）=3sin（2x+

π

6

）单调递增，
∴当k=0时，函数的一个单调增区间是[-

π

3

，

π

6

]，故④函数的一个单调增区间是[-

π

4

，

π

4

]错误．
综上所述，正确命题的序号为②③．
故答案为：②③．

点评：不同考查命题的真假判断与应用，着重考查正弦函数的单调性、对称性及最值，属于中档题．