题目内容
已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
解：（1）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，
则
解得
∴椭圆C的标准方程为
．
（2）由方程组
消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0
由题意：△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0
整理得：3+4k2﹣m2＞0 ①
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则
，
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）
∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0
即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=0
也即
整理得：7m2+16mk+4k2=0
解得：m=﹣2k或
，均满足①
当m=﹣2k时，直线l的方程为y=kx﹣2k，过定点（2，0），舍去
当
时，直线l的方程为
，过定点
，l过定点，且定点的坐标为
．
则
解得∴椭圆C的标准方程为
．（2）由方程组
消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由题意：△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0
整理得：3+4k2﹣m2＞0 ①
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则
，由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）
∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0
即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=0
也即
整理得：7m2+16mk+4k2=0
解得：m=﹣2k或
，均满足①当m=﹣2k时，直线l的方程为y=kx﹣2k，过定点（2，0），舍去
当
时，直线l的方程为，过定点，l过定点，且定点的坐标为．
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