Question

已知函数f（x）=a•b^x的图象过点A（0，

1

16

），B（2，

1

4

）．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设a_n=log₂f（n），n∈N^*，S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（III）在（II）的条件下，若b_n=a_n(

1

2

)n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）∵函数f（x）=a•b^x的图象过点
A（0，

1

16

），B（2，

1

4

）
∴

a•b0= 1 16 a•b2= 1 4

解得：a=

1

16

，b=2，∴f（x）=2^x-4
（II）a_n=log₂^f（n）=

log

2n-42

=n-4
∴{a_n}是首项为-3，公差为1的等差数列
∴S_n=-3n+

1

2

n（n-1）=

1

2

n（n-7）；
（III）b_n=a_n(

1

2

)n=（n-4）(

1

2

)n
T_n=-3×

1

2

+（-2）×(

1

2

)2+…+（n-4）×(

1

2

)n①

1

2

Tn=-3×(

1

2

)2+（-2）×(

1

2

)3+…+（n-4）×(

1

2

)n-1②
①-②，得：

1

2

T_n=-3×

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n-4）×(

1

2

)n-1
∴T_n=-2-（n-2）(

1

2

)n．