题目内容

已知函数y=f（x）是偶函数，当x＞0时，有 $数学公式$ ，且当x∈[-3，-1]，f（x）的值域是[n，m]，则m-n的值是？

解：∵当x＞0时， $\text{[math]}$ ，
∴x＜0时，-x＞0， $\text{[math]}$ ，
∵函数y=f（x）是偶函数，f（-x）=f（x），
∴x＜0时， $\text{[math]}$ ，
∵f（x）=x+ $\text{[math]}$ 在[1，2]单调递减，在[2，3]上单调递增
根据偶函数的图象关于y轴对称可知， $\text{[math]}$ 在[-3，-2]单调递减，在[-2，-1]单调递增，
∴f（x）_min=f（-2）=4=n，又f（-3）= $\text{[math]}$ ，f（-1）=5＞f（-3），
∴f（x）_max=f（-1）=5=m，
∴m-n=1．
分析：由x＞0，f（x）=x+ $\text{[math]}$ ，根据偶函数的性质求得x＜0时f（x）的解析式，再结合函数的单调性，从而确定答案．
点评：本题考查函数奇偶性的性质，难点在于对x＜0时，根据偶函数的图象的对称性判断 $\text{[math]}$ 单调性，属于中档题．