Question

（本题满分12分）如图，在平面直坐标系中，已知椭圆，经过点，其中e为椭圆的离心率．且椭圆与直线 有且只有一个交点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设不经过原点的直线与椭圆相交与A，B两点，第一象限内的点在椭圆上，直线平分线段，求：当的面积取得最大值时直线的方程。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

试题分析：（Ⅰ）∵椭圆经过点，∴又，
∴，∴  
∴椭圆的方程为…………………………………………2分
又∵椭圆与直线 有且只有一个交点
∴方程即有相等实根
∴    ∴ 
∴椭圆的方程为………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为 故
设不经过原点的直线的方程交椭圆于
由得    ……………………………6分
∴  ………………7分       

直线方程为且平分线段 
∴=解得 ……………………………………………8分
∴
又∵点到直线的距离 
∴…………………………………………9分
设    
由直线与椭圆相交于A，B两点可得
求导可得，此时取得最大值
此时直线的方程……………………………………………12分
点评：求椭圆的标准方程是解析几何的基本问题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，常常运用韦达定理，本题属于中档题。