Question

如下图所示,在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,AB=5,AD=8,AA₁=4,M为B₁C₁上一点且B₁M=2,点N在线段A₁D上,A₁D⊥AN.

(1)求cos〈,〉;

(2)求直线AD与平面ANM所成角的大小;

(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的大小.

Answer 1

解：（1）如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），M（5，2，4），A₁（0，0，4），D（0，8，0）.

因为=(5,2,4),=(0,8,-4),

所以·=0+16-16=0.所以⊥.

所以cos〈,〉=0.

(2)A₁D⊥AM,A₁D⊥AN,所以⊥平面AMN.

所以=(0,8,-4)是平面ANM的一个法向量.

又=(0,8,0),||=4,||=8,·=64,

所以cos〈,〉=.

所以AD与平面AMN所成角为-arccos.

(3)因为平面ANM的法向量是=（0，8，-4），

平面ABCD的法向量是a=(0,0,1),

所以cos〈,a〉=.

所以平面ANM与平面ABCD所成角的大小为arccos.