Question

（2012•东城区模拟）已知函数f(x)=cos2ωx-

3

sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期是π，
（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；
（2）若A为锐角△ABC的内角，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正余弦公式把函数降幂，然后化积为y=Acos（ωx+Φ）+k的形式，由复合函数的单调性求原函数的单调增区间，由余弦值等于0求解函数的对称中心；
（2）由A为锐角△ABC的内角得到A的范围，从而得到2A+

π

3

的范围，进一步得到f（A）的范围．

解答：解：（1）由f(x)=cos2ωx-

3

sinωx•cosωx，得
f(x)=

1+cos2ωx

2

-

3

2

sin2ωx=cos(2ωx+

π

3

)+

1

2

．
由T=

2π

2ω

=π，得ω=1，所以f(x)=cos(2x+

π

3

)+

1

2

．
由-π+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈Z，解得
-

2π

3

+kπ≤x≤-

π

6

+kπ，k∈Z．
所以函数f（x）的单调增区间为[-

2π

3

+kπ，-

π

6

+kπ]，k∈Z．
令2x+

π

3

=

π

2

+kπ，解得x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z．
所以对称中心为(

π

12

+

kπ

2

，

1

2

)，k∈Z．
（2）因为A为锐角三角形的一个内角，所以0＜A＜

π

2

，
则

π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

，
-1≤cos(2A+

π

3

)＜

1

2

，
-

1

2

≤cos(2A+

π

3

)+

1

2

＜1．
所以f（A）的取值范围为 [-

1

2

．

点评：本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了两角和与差的余弦函数，考查了余弦函数的单调性及对称性，是中档题．