Question

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（-2011）+f（2012）=

1

．

Answer 1

分析：确定当x≥0时函数的周期，利用函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，x∈[0，2），f（x）=log₂（x+1），代入计算，可得结论．

解答：解：∵对于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），∴函数的周期为T=4
∵函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，x∈[0，2），f（x）=log₂（x+1）
∴f（-2011）+f（2012）=f（1）+f（0）=log₂（1+1）+log₂1=1．
故答案为：1

点评：本题考查函数的奇偶性与周期性综合运用，考查转化思想，解答本题的关键是熟练掌握函数的性质及一些常用的反映函数性质的结论．