Question

已知函数f(x)=ax³(a+2)x²+6x-3.

(1)当a＞2时,求函数f(x)的极小值;

(2)讨论曲线y=f(x)与x轴的公共点的个数.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3ax²-3(a+2)x+6=3a(x)(x-1),

∵a＞2,∴＜1.当x＜或x＞1时,f′(x)＞0,

当＜x＜1时，f′(x)＜0,∴f(x)_极小值=f(1)=-.

(2)①当a=0时,f(x)=-3(x-1)²,曲线与x轴只有一个公共点;

②当a＜0时,当x＜或x＞1时,f′(x)＜0,

当＜x＜1时,f′(x)＞0,∴f(x)_极大值=f(1)=-＞0,f(x)_极小值=f()＜0.

∴曲线与x轴有三个公共点.

③当0＜a＜2时,＞1,当x＜1或x＞时,f′(x)＞0,

当1＜x＜时,f′(x)＜0,f(x)_极大值=f(1)＜0,f(x)_极小值=f()＜0,

∴曲线与x轴只有一个公共点.

④当a=2时,f(x)=6(x-1)²≥0,

∴曲线与x轴只有一个公共点.

⑤当a＞2时,f(x)_极大值=f()=4()²＜0,

∴曲线与x轴有一个公共点.

综上所述,a≥0时,曲线与x轴只有一个公共点;

a＜0时,曲线与x轴有三个公共点.