Question

19．已知在直角坐标系xOy中，点P（0，$\sqrt{3}$），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，设直线l与曲线C的两个交点为A、B，则|PA|•|PB|的值为6．

Answer 1

分析 利用cos²φ+sin²φ=1，可把曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），消去参数化为普通方程．直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，展开利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化为直角坐标方程．可得直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），代入椭圆方程，利用|PA|•|PB|=-t₁t₂即可得出．

解答 解：曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），消去参数化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{15}=1$．
直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，展开化为：$2（\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ+\frac{1}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，∴直角坐标方程：$\sqrt{3}x+y=\sqrt{3}$，
可得直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）
代入椭圆方程可得：2t²+3t-12=0，
∴|PA|•|PB|=-t₁t₂=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数方程、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．