Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₄+a₆=18，且a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若cn=

1

anan+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n可知数列{a_n}为等差数列，结合等差数列的性质可得2a₅=a₄+a₆=18 可求a₅，进而可求公差d，从而可求通项
（II）由（I）可得Cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．考虑利用裂项求和进行求解

解答：解：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n可知数列{a_n}为等差数列，设公差为d（2分）
∵2a₅=a₄+a₆=18∴a₅=9
∴d=

a5-a1

4

=2（4分）
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1（6分）
（II）∵Cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（8分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)（10分）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

（12分）

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，公差公式d=

an-am

n-m

的应用，数列求和的裂项法，解答本题的求和时要注意裂项后的系数

1

2

是容易漏掉的，考查学生的运算