Question

（2012•西城区二模）已知函数f(x)=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，先对函数求导，然后求出 f'（0），即取消在原点处的切线斜率，可求得曲线y=f（x）在原点处的切线方程
（Ⅱ）先对函数求导，然后根据导数的符号可判断函数的单调区间
（III）由（Ⅱ）中函数的单调区间，可求出函数的最值取得的条件，然后可求a的范围

解答：（Ⅰ）解：当a=1时，f(x)=

2x

x2+1

，f′(x)=-2

(x+1)(x-1)

(x2+1)2

．    …（2分）
由 f'（0）=2，得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0．…（3分）
（Ⅱ）解：对函数求导可得，f′(x)=

-2(x+a)(ax-1)

(1+x2)2

                          …（4分）
①当a=0时，f′(x)=

2x

x2+1

．
所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．          …（5分）
当a≠0，f′(x)=-2a

(x+a)(x- 1 a )

x2+1

．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=-a，x2=

1

a

，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的单调减区间是（-∞，-a），(

1

a

，+∞)；单调增区间是(-a，

1

a

)．  …（7分）
③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的单调增区间是(-∞，

1

a

)；单调减区间是(-

1

a

，-a)，（-a，+∞）．…（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，a=0时不合题意．                       …（10分）
当a＞0时，由（Ⅱ）得，f（x）在(0，

1

a

)单调递增，在(

1

a

，+∞)单调递减，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值f(

1

a

)=a2＞0．
设x₀为f（x）的零点，易知x0=

1-a2

2a

，且x0＜

1

a

．从而x＞x₀时，f（x）＞0；x＜x₀时，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（0，1]．…（12分）
当a＜0时，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（-∞，-1]．
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪（0，1]．                    …（14分）

点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于中档试题